作者并非老师，在辅导孩子数学的这几年中，感觉到现在的数学教学都是切片式的，每个年级讲一点，时间跨度很大，孩子在学习过程中死记硬背，对其原理理解并不透彻。而初中的数学基本功对高中阶段的学习非常重要。所以打算自己来写一些教程，有别于教科书和参考书那样，仅仅是对知识点的罗列，会对每个知识点进行详细的说明，并给出证明过程（这点学校在教学过程中比较缺失）。希望能帮助同学们更好地融会贯通。
点和圆的位置关系有三种：
- 点在圆外（N），⇔ NO>r
- 点在圆上（P），⇔ PO=r
- 点在圆内（M），⇔ MO<r
注：“⇔”是数学中的等价符号，即符号左边可以推导到右边，符号右边也可以推导到左边，符号两边完全相等。
点和圆的位置关系经常涉及到初中几何中比较难的动点问题。我看了一下初中教科书，发现并没有对以上三点进行证明。
证明：圆内一点到圆心的距离小于该圆的半径。
过点M做MO的垂线，由于M是圆O内一点，该垂线必然交圆O于A，B两点，连接AO和BO，构成2个直角三角形。则可以得到AO>MO，且A在圆上，AO=r（圆的半径），
∴ MO < r
证明完成
通过以上证明，我们还可以得到另一个结论：
如果经过一点M的直线与圆O相交于两点A，B，且A，B位于点M两端，则M点在圆O内。
圆外一点到圆心的距离大于半径，比较容易证明，同学们可以自己想一下。
接下来讨论两个比较重要的性质，如图，圆外一点M到圆心O的直线（MO）与圆相交于A和B两点，
其中：
- MA是M到圆O的最长距离
证明如下：
使用反证法，如果A不是M到圆O的最长距离，那么必然存在另外一个圆上一点A'使得MA'是最长距离，且A'不在直线MO上，连接M A'和O A'，则在ΔMA'O中必然存在：
MA' < MO+OA'（三角形两边之和大于第三边），且OA'=OA，∴ MA' < MA，与假设矛盾。
∴ MA是最长距离。
证明完毕。
- MB是M到圆O的最短距离
证明如下：
使用反证法，如果B不是M到圆O的最短距离，那么必然存在另外一个圆上一点B'使得MB'是最短距离，且B'不在直线MO上，连接MB'和O A'，通过B'作MO垂线交MO于C点，且C点位于圆O内，可得MC>MB，在直角三角形ΔMBC'中，MB'>MC>MB，与假设矛盾。
∴ MB是最短距离。
证明完毕。
